Rechnen lehren und lernen

Erstunterricht

Wir wissen heute weit mehr über die große Komplexität mathematischer Lernprozesse als vor Jahren. Eine entscheidende Rolle spielt dabei die Förderung der Eigenaktivität und das Optimieren selbstbestimmter Lernprozesse der Kinder ohne ständige Unterstützung und Kontrolle anderer. Denn auch Mathematik lernen kann konstruktiv und selbst-entdeckend erfolgen und das schon von Beginn an. Der Aufbau eines fundierten Zahlenverständnisses sollte im Mittelpunkt des mathematischen Erstunterrichtes stehen. Herausfordernde Lernanlässe, produktive Übungsformen, gut überlegter Materialeinsatz und das Fördern der Kommunikation sind weitere Bausteine eines optimalen Mathematikunterrichts. Wobei das Kommunizieren einen sehr wichtigen Platz im Bereich der Erkennung von Rechenschwierigkeiten einnimmt. In gezielten Gesprächen mit den Kindern lassen sich nicht zielführende Denkweisen, typische Fehlvorstellungen oder fehlerhafte Lösungswege erkennen. Je früher damit begonnen wird, sich in Mathematik auch mit den Kindern zu unterhalten, sich auszutauschen, viele gezielte Fragen zu stellen, desto eher ist es möglich, typische Denkweisen, die auf Rechenschwierigkeiten hinweisen können, zu erkennen und diesen gegenzusteuern (vgl. Schütte, S., 2008).
Viele Tipps und Anregungen für einen ganzheitlichen, aber auch gut strukturierten Mathematikunterricht und Hinweise zu zahlreichen Förderprogrammen sind unter den Literaturhinweisen zu finden.
Literatur: Schütte, S. (2008): Qualität im Mathematikunterricht der Grundschule sichern. Für eine zeitgemäße Unterrichts- und Aufgabenkultur. München: Oldenbourg.

Differenzieren von Anfang an

Manche Schulanfänger/innen verfügen bereits – manchmal unbemerkt – über beträchtliche mathematische Kompetenzen, auch wenn sie diese noch nicht formal korrekt verwenden. Gleichzeitig sind bei anderen Kindern die Vorläuferfertigkeiten des Rechnens noch wenig entwickelt. Die Unterschiede können so weit gehen, dass einige in der Klasse auf dem Niveau der Zweitklässler arbeiten könnten, während andere noch nicht fehlerfrei bis 20 zählen können (vgl. Spiegel/Selter 2010, S. 16f). Zahlreiche Forschungsergebnisse sprechen gegen die Annahme, dass die Kinder in der Schule bei einem „Nullpunkt“ beginnen.
Deshalb ist es sehr wichtig, offene Aufgabenformate zu benutzen, die differenzierte Zugänge von Anfang an ermöglichen (Lernen desselben Inhalts auf unterschiedlichen Niveaus). (s.a. Empfehlungen zur Schulbuchwahl)

Näheres unter:
Spiegel, H. und Selter C. 2010: Kinder &/ Mathematik. Was Erwachsene wissen sollten. Kallmeyer Verlag
und:
https://pikas.dzlm.de/unterricht/gute-aufgaben/offene-aufgaben

Differenzierung durch Komplexität

Heterogenität im Mathematikunterricht begegnen

Mit der Implementierung der Bildungsstandards in Österreich wurde auch die Forderung nach kompetenzorientiertem Unterricht laut – einem Unterricht, der neben inhaltlichen auch methodische, soziale oder kommunikative Kompetenzen fördert. Gleichzeitig gilt es, den individuellen Bedürfnissen von SchülerInnen in sehr heterogenen Lerngruppen gerecht zu werden. Für den Mathematikunterricht wurden in den letzten Jahren Modelle und Aufgabenformate entwickelt, die einerseits Differenzierung ganz „natürlich“ zulassen und dabei die Kompetenzentwicklung unterstützen.

Heterogenität als Normalität

Die Leistungsheterogenität in Schulklassen und Lerngruppen ist eine mittlerweile unumstrittene Tatsache. Largo (2009) zeigt in seinen Langzeitstudien zur kindlichen Entwicklung eindrucksvoll, wie stark Vielfalt ausgeprägt sein kann: So ergab etwa eine Untersuchung 20 Siebenjähriger ein Entwicklungsalter von 5.5 bis 8.5 Jahren (vgl. Largo 2009: 32). Um diese interindividuelle Heterogenität auszugleichen, sieht unser Schulsystem verschiedenste Mechanismen vor. Zurückstellung, Klassenwiederholung oder der Unterricht in Leistungsgruppen sollen einer Homogenisierung dienen, wie Tillmann (2004: 6) in seinem Beitrag „Schule jagt Fiktion – Die homogene Lerngruppe“ ausführt. All diese Maßnahmen ändern jedoch nichts an der Tatsache, dass sich nach wie vor in allen Klassen SchülerInnen mit unterschiedlichsten Lernvoraussetzungen, Vorkenntnissen, Motivationslagen und Interessen finden, die sich trotz dieser Maßnahmen nicht homogenisieren lassen. Der Umgang mit Heterogenität stellt demnach eine große Herausforderung – nicht nur an den Mathematikunterricht – dar.

Differenzierung als Notwendigkeit im Umgang mit Heterogenität

Während das Schulsystem dieser Heterogenität vor allem mit äußerer Differenzierung (wie oben ausgeführt) begegnet, versuchen Lehrkräfte den unterschiedlichen Lernvoraussetzungen durch innere Differenzierung gerecht zu werden. Dies geschieht häufig durch Organisationsformen von offenem Unterricht, wie etwa der Wochenplan- oder Werkstattarbeit. Peschel (2009: 9ff) sieht in diesen Unterrichtsformen Kriterien wie etwa Eigenverantwortung oder auch Differenzierung jedoch nur bedingt umgesetzt. Er verwendet hier die Bezeichnung „geöffneter Unterricht“ als Vorstufe für offenen Unterricht. Die Öffnung bezieht sich dabei auf den nach seinem Erachten weniger wichtigen Aspekt der Unterrichtsorganisation (vgl. Peschel 2009:88). Die Differenzierung wird „von oben“ (vgl. Peschel 2004: 21ff) inszeniert, indem LehrerInnen den Lehrstoff in von ihnen festgelegten „Portionen“ bzw. Schwierigkeitsgraden und in Form von unterschiedlichen Arbeitsmaterialien und –mitteln anbieten. Peschel (2004: 21ff) bezweifelt jedoch, dass den unterschiedlichen Bedürfnissen und Lernvoraussetzungen von SchülerInnen durch diese Differenzierung von oben entsprochen werden kann. Er sieht hier nicht schülerzentrierten und damit differenzierten Unterricht realisiert, sondern vielmehr „materialzentrierten Unterricht“ (vgl. Peschel 2009: 9ff).

Materialeinsatz im differenzierten (Mathematik-)Unterricht

Dieser sehr kritischen Ansicht können wir uns teilweise anschließen, da auch wir in der Auseinandersetzung mit der schulischen Praxis immer wieder feststellen, dass das Unterrichtsmaterial einen zentralen Stellenwert bei der Planung und Durchführung von Unterricht einnimmt. Während vielerorts durchdachtes und gut strukturiertes Material zielgerichtet eingesetzt wird, beobachten wir ebenso, dass nicht die zu erreichenden Kompetenzen oder Lernziele sondern vorhandenes Material den Ausgangspunkt für die Unterrichtsplanung bilden. So werden Stunden „rund um Material“ geplant oder Material wird (etwa aus Internetquellen) in großer Anzahl und häufig unreflektiert übernommen.
Dabei wird zumeist außer Acht gelassen, dass die Materialien und Veranschaulichungen im Mathematikunterricht dem Entwickeln und Festigen von Zahl- und Operationsverständnis dienen sollen. Ziel ist es, dass sich die Kinder, ausgehend von konkreten Handlungen an Materialien letztlich von diesen lösen und die Aufgaben mit guten Strategien im Kopf bewältigen können (vgl. Schipper 2009: 288).
Materialien sollen den Kindern also als Hilfe beim Aufbau von leistungsfähigen mentalen Vorstellungen dienen und nicht nur dem Lösen einer bestimmten Aufgabenstellung. Dafür ist es unter anderem notwendig, dass die an den Materialien vollzogenen Handlungen strukturell mit den angestrebten Operationen übereinstimmen und dass im Material an sich die grundlegenden mathematischen Strukturen repräsentiert sind (vgl. Schipper: 302).
In den angeführten Unterrichtsformen und im materialgeleiteten Unterricht beziehen sich Differenzierungsmaßnahmen also selten auf Bedürfnisse und Voraussetzungen von SchülerInnen, sondern vielmehr auf die Menge der zu bearbeitenden Aufträge.
Auf inhaltlicher Ebene findet die Differenzierung häufig durch die Reduktion von Komplexität und damit einem reduzierten Lernangebot besonders für langsame oder schwache LernerInnen statt. Bezogen auf mathematische Inhalte wird eine solche Reduktion zum Teil sehr kritisch bewertet, da die Gefahr besteht, dass damit ein inhaltlicher Verlust einhergeht (vgl. Krauthausen, Scherer 2010: 5).

„Natürliche“ Differenzierung im Mathematikunterricht

Die bisher gängigen Formen innerer Differenzierung werden v.a. in Bezug auf den Mathematikunterricht nun um das Modell der „natürlichen Differenzierung“ erweitert (vgl. Krauthausen, Scherer 2010). Mathematikunterricht, der diesem Prinzip folgt, soll einerseits mathematisch angemessene Komplexität erhalten und gleichzeitig Differenzierung ermöglichen. Die Differenzierung findet dabei „von unten“ – also in der Art und Weise, in der SchülerInnen eine Aufgabe oder Lernumgebung bearbeiten, in der Wahl individueller Lernwege und Bearbeitungsstrategien - statt.
Lernumgebungen, die zum Ziel haben alle Kinder zu fördern und nach dem Prinzip der natürlichen Differenzierung aufgebaut sind, unterscheiden sich demnach wesentlich von Aufgaben, die nach der inneren Differenzierung vorgehen: Alle SchülerInnen arbeiten an einem Arbeitsauftrag, der Wahlmöglichkeiten bietet und so die natürliche Differenzierung ermöglicht (vgl. Wittmann, Müller 2004: 15). Scherer und Moser Opitz (2010: 57f) beschreiben solche Aufgaben als besonders geeignet für den fördernden Mathematikunterricht.
Aufgabenstellungen, die diese natürliche Differenzierung ermöglichen sollen, müssen auch gewissen innermathematischen oder sachbezogenen Kriterien entsprechen. So haben Hirt und Wälti den auf Kompetenzerwerb und die mathematische Tätigkeit ausgerichteten Lernumgebungen folgende Kriterien zu Grunde gelegt:

• „Mathematische Substanz mit sichtbar werdenden Strukturen und Mustern (fachliche Rahmung)
• Orientierung an zentralen Inhalten
• Hohes kognitives Aktivierungspotential
• Orientierung der Tätigkeit an mathematischen und inhaltlichen Prozessen
• Initiierung von Eigentätigkeit aller Lernenden
• Förderung individueller Denk- und Lernwege sowie eigener Darstellungsformen
• Zugänglichkeit für alle: Ermöglichen mathematischer Tätigkeit auch auf elementarer Ebene durch die Möglichkeit an Vorkenntnisse anknüpfen zu können
• Herausforderungen für schnell Lernende mit anspruchsvollen Aufgaben
• Ermöglichen des sozialen Austauschs und des Kommunizierens über Mathematik“ (Hirt, Wälti 2008: 14)

Bei Ulm (2008) wird deutlich, dass auch solche Aufgaben gut geeignet sind, die eine „Modellierung außermathematischer Situation erfordern, um die Bedeutung der Mathematik für ein Verständnis der „Welt“ erlebbar zu machen“ (vgl. Ulm 2008: 8).

Ein Unterrichtsbeispiel aus der Praxis

Nachfolgende Aufgabenstellung ist dem Buch „Gute Aufgaben Mathematik – Heterogenität nutzen“ (Ulm 2008: 37ff) entnommen und wurde im Schuljahr 2009/10 im Rahmen der unverbindlichen Übung „Mathematik-Begabungsförderung“ an einer Salzburger Volksschule durchgeführt.

Thema und Intention:

Durchführung:
Ausgehend von der dargestellten Aufgabe versuchten 18 Kinder (12 Buben, 4 Mädchen) einer sehr heterogenen Lerngruppe (2. bis 4. Schulstufe) diese offene Knobelaufgabe zu lösen. Um den Kindern eine eigenständige Auseinandersetzung mit der Problemstellung und ein Anknüpfen an das individuelle Vorwissen zu ermöglichen, arbeiteten die SchülerInnen in der ersten Phase alleine. Bereits hier zeigten sich sehr unterschiedliche Denk- und Lösungsansätze. Auch in ihrer Herangehensweise unterschieden sich die SchülerInnen stark voneinander. Die Art der Aufgabenstellung, die sich deutlich von den sonst üblichen Aufgaben im Unterricht unterschied, verunsicherte die SchülerInnen anfangs, vor allem hinsichtlich der Tatsache, dass es nicht den einen richtigen und zuvor erlernten Lösungsweg zu geben schien.
In einer zweiten Phase tauschten sich die Kinder mit einem bzw. einer selbst gewählten PartnerIn aus und arbeiteten gemeinsam am Lösungsweg weiter. Dabei wurden unterschiedliche Strategien sichtbar.
Exemplarische Bearbeitungsansätze:
Zwei Schüler der zweiten Klasse näherten sich der Problemstellung zeichnerisch und malten auf ein Plakat immer wieder die drei unterschiedlichen Fahrzeuge, bis die geforderte Anzahl der Räder (52) erreicht war. Allerdings mussten sie dazu öfter nachzählen, was zu einigen Fehlern führte.
Ganz anders gingen zwei Schüler der dritten Klasse vor, die sich zunächst ihre unterschiedlichen Lösungsansätze gegenseitig erklärten und offensichtlich in der Lage waren, den Denk- und Lösungsweg des Partners nachzuvollziehen. In den von ihnen gewählten Lösungswegen multiplizierten sie die Anzahl der Autoreifen (4) mit einer angenommenen Größe und teilten den Rest auf die beiden anderen Fahrzeugtypen auf.
Im Gegensatz dazu stand der Lösungsansatz zweier Schüler der vierten Klasse: Diese hatten offenbar zuvor den Algorithmus der schriftlichen Division gelernt und waren sich dahingehend einig, dass bei dieser Aufgabenstellung die Division anzuwenden sei. (Wir interpretieren das als Ergebnis eines schulischen Lernprozesses, in dem Sach- und Textaufgaben häufig in engem Zusammenhang mit direkt davor Erlerntem bearbeitet werden.) Sie zählten zunächst die Anzahl der Räder aller Fahrzeugtypen zusammen (7) und dividierten die Gesamtzahl der Räder (52) durch 7. Diese Division mit Rest stellte für die Kinder kein Problem dar, jedoch waren sie nicht in der Lage, den Zusammenhang zur Aufgabe herzustellen. So konnten sie auch nach mehrmaliger Anregung ihr Ergebnis nicht interpretieren und waren sich nicht im Klaren darüber, was der Rest in Bezug auf die Aufgabe zu bedeuten hatte.
In einer dritten Phase stellten die SchülerInnen ihre Arbeitsergebnisse auf einem Plakat dar und präsentierten dieses der Gruppe. Hier wurden erste Diskussionen und Gespräche über die unterschiedlichen Lösungswege angeregt. Besonders jene Kinder, die selbst Lösungswege gefunden hatten, waren sichtbar an denen der anderen SchülerInnen interessiert. Auch bei den beiden Viertklässlern stellten sich in dieser Phase „Aha-Erlebnisse“ ein.

Resümee

Gute Aufgaben und Lernumgebungen eigenen sich dazu, Kindern in heterogenen Lerngruppen Mathematik auf „ihrem Niveau“ zu ermöglichen. Ausgehend von ihren Vorerfahrungen nähern sie sich den Aufgabenstellungen auf ganz individuelle Art und Weise. Lernumgebungen und gute Aufgaben sollten daher als Lernanlässe gemeinsamen Mathematiktreibens andere Unterrichtsformen ergänzen. Um die entsprechenden allgemeinen mathematischen Kompetenzen aufbauen zu können, ist es notwendig, dass SchülerInnen die Möglichkeiten bekommen, auch im Bereich der Mathematik auf unterschiedliche Art und Weise tätig zu sein. Zudem wird es entscheidend sein, dass LehrerInnen zunehmend unterschiedliche Denk- und Lösungsansätze nicht nur zulassen sondern diese auch fördern und unterstützen.

Literaturverzeichnis:

• Bifie (Hg.) (2009): Praxishandbuch für „Mathematik“ 4. Schulstufe. Graz: Leykam
• Hirt, Ueli; Wälti, Beat (2008): Lernumgebungen im Mathematikunterricht. Natürliche Differenzierung für Rechenschwache bis Hochbegabte. Seelze-Velber: Kallmeyer/Klett
• Krauthausen, Günter; Scherer, Petra (2010): Umgang mit Heterogenität. Natürliche Differenzierung im Mathematikunterricht der Grundschule. URL: Handreichung_Krauthausen-Scherer.pdf (sinus-an-grundschulen.de)  (Stand:12.3.2011)
• Largo, Remo (2009): Kinderjahre. Die Individualität des Kindes als erzieherische Herausforderung. 17.Auflage. München: Piper.
• Peschel, Falko (2004): Ganz normale Kinder! Differenzierung von oben oder Individualisierung von unten. In: Friedrich-Jahresheft (2004). XXII. S. 21ff
• Peschel, Falko (2009): Offener Unterricht. Idee – Realität – Perspektive und ein praxiserprobtes Konzept zur Diskussion. 5. Auflage. Baltmannsweiler: Schneider (Basiswissen Grundschule).
• Schipper, Wilhelm (2009): Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. Braunschweig: Westermann/Schrödel.
• Scherer, Petra; Moser Opitz, Elisabeth (2010): Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe. Heidelberg: Spektrum (Mathematik Primar- und Sekundarstufe).
• Tillmann, Klaus-Jürgen (2004): System jagt Fiktion. Die homogene Lerngruppe. In: Friedrich-Jahresheft (2004). XXII. S. 6ff
• Ulm, Volker (Hg.) (2008): Gute Aufgaben Mathematik – Heterogenität nutzen. Berlin: Scriptor.

(Myriam Burtscher, Barbara Herzog)

Kriterien zur Schulbuchwahl

• die den unterschiedlichen Lernvoraussetzungen und Lernmöglichkeiten
• der Schüler/innen gerecht werden,
• die ein aktiv-entdeckendes Lernen anregen,
• die Übungen in verschiedenen Schwierigkeitsgraden anbieten,
• die offen sind für individuelles Fortführen und Weiterarbeiten,
• die individuelle Zugänge und Bearbeitung ermöglichen,
• die das Lernen von- und miteinander anregen
• die Rechenstrategien auf- und ausbauen,
• die strukturiertes und automatisierendes Üben ermöglichen?

GAIDOSCHIK (2010) formuliert wichtige Kriterien für die Beurteilung von Schulbüchern, die im Folgenden kurz erläutert werden:

1. Einstiegszahlenraum
   Der Zahlenraum 10 wird von Beginn an für das mathematische Handeln eröffnet und einige Wochen durchgearbeitet. Denn ein Einstieg im Minimalraum 4 oder 5 sowie kleinschrittiges Erweitern des Zahlenraumes um jeweils eine Zahl behindert das Erkennen von mathematischen Zusammenhängen.
2. Strukturierte Zahlauffassung und Ablösung vom zählenden Rechnen
   
   • Unterstützt das Lehrwerk das Erarbeiten und Absichern einer strukturierten Zahlauffassung, also quasi-simultanes Erfassen durch Darstellen der Zahlen bis 10 in Fünferstruktur? Wie werden Kinder dazu angeleitet, strukturierte Zahldarstellungen als solche zu erkennen, selbst Zahlen strukturiert darzustellen und für das Rechnen zu nutzen?
   • Leitet das Buch zu einem Denken von „Zahlen als Zusammensetzungen von Zahlen“ an (z. B. 7 als 5+2, 4+3, 6+1)
   • Bietet es ausführliche Angebote und Anleitungen zur Ablösung vom zählenden Rechnen und zum Erwerben tragfähigerer Lösungsstrategien (Nachbaraufgaben, gegensinnige Veränderung, Verdoppeln + 1, …)?
   • Wird zuerst nur die Addition (der Zusammenhang – Zerlegen und Addieren) behandelt? Stellt es danach ausführlich den Zusammenhang von Zerlegen, Addieren und Subtrahieren im Sinne des Teile-Ganzes-Konzeptes her (statische Darstellung und unterschiedliches Betrachten eines Zahlentripels; nicht einzelne Elemente wegnehmen, denn das verführt zum zählenden Rechnen)?
3. Behandlung des Zehnerüberganges
   Werden neben dem (allzu häufig überbetonten) Teilschrittverfahren (Ergänzen/Vermindern auf 10) weitere Strategien durch bildliche Darstellung und Übungsbeispiele angeregt („Kraft der 5“, Verdoppeln + 1, …)?
4. Gestaltung der Übungspäckchen
   Bietet das Lehrwerk überwiegend operativ strukturierte Übungen („Schöne Päckchen“¹), die Zusammenhänge zwischen additiven Grundaufgaben entdecken lassen? Sind zahlreiche Übungspäckchen offen gestaltet (von den Kindern selbstständig weiterzuführen)?
5. Schaffen von Anlässen für das Kommunizieren und Argumentieren von Lösungswegen
   Werden die Kinder angeleitet, die mathematischen Zusammenhänge bewusst wahrzunehmen, zu diskutieren und selbstständig anzuwenden? Regt das Schulbuch durch Hinweise im Lehrerhandbuch, entsprechende Impuls-Abbildungen, Aufforderungen, gestörte „schöne Päckchen“ … zum Kommunizieren und Argumentieren an? Wesentlich ist, dass Kinder Zusammenhänge begründen und Vor- und Nachteile verschiedener Strategien abwägen lernen.

Erschütternd ist der Befund von GAIDOSCHIK nach Analyse von fünf Schulbüchern, darunter auch das marktführende, in seiner Dissertation aus dem Jahr 2010:
„In allen fünf Büchern werden die Zahlen bis 10 kleinschrittig "eingeführt".
Keines der fünf Bücher ist dafür konzipiert, die Erarbeitung einer strukturierten Anzahlerfassung und in weiterer Folge die Erarbeitung des Denkens von Zahlen als Zusammensetzungen aus anderen Zahlen wirksam zu unterstützen.
Keines der fünf Bücher ist dafür konzipiert, die Erarbeitung von Einsicht in operative Zusammenhänge zwischen den Grundaufgaben und in weiterer Folge deren Nutzung für nicht-zählende Rechenstrategien wirksam zu unterstützen.
In allen fünf Büchern wird für den Zehnerübergang nur das Teilschrittverfahren thematisiert oder zumindest "vorbereitet".
Keines der fünf Bücher liefert konsequent Anstöße und Anregungen dafür, dass Kinder über Rechenstrategien diskutieren und operative Zusammenhänge in Klassengesprächen erläutern und begründen.
In allen fünf Büchern werden die Kinder auf den Übungsseiten mit einer "Flut von grauen Päckchen und bunten Hunden"² konfrontiert.“

¹Was sind „schöne Päckchen“ und „graue Päckchen“?
„Unter schönen Päckchen versteht man eine Serie von Aufgaben, die nicht willkürlich zu einem Rechenpäckchen zusammengefasst worden sind, sondern die in einem bestimmten Zusammenhang stehen, indem sie sich etwa von Aufgabe zu Aufgabe operativ verändern. Das dadurch entstehende Muster muss dabei noch nicht einmal sonderlich kompliziert sein, wie auch das folgende Beispiel zeigt:

²Was sind „bunte Hunde“?
Rechenaufgaben, meist Grundaufgaben der Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division, werden mit Ausmalbildern in Verbindung gebracht - für jedes Ergebnis muss ein Feld in einer bestimmten Farbe im Bild angemalt werden. Der Einsatz von „bunten Hunden“ als Übungsformat sollte jedoch kritisch betrachtet werden. Es wird geraten, das Üben nicht als „Unterhaltung“ oder „Ausmalübung“ zu sehen, sondern als beziehungsreiches Denken. Die Zeit, die die Kinder mit dem Suchen und Ausmalen der Felder der Bilder verbringen, kann mit produktiven Übungen besser genützt werden.
Üben und Entdecken bunte Hunde (© Oktober 2009 by PIK AS (http://www.pikas.uni-dortmund.de/))

Erkennen von Schwierigkeiten im 1. Schuljahr

Schuleinschreibung:
Noch bevor die Schulanfänger/innen zum ersten Mal die Schule betreten, können Lehrer/innen sich über deren Voraussetzungen kundig machen. Die Unterlagen der Schuleinschreibung bergen viele für den Beginn der 1. Klasse relevante Informationen.

Eine Interpretationshilfe für die „Vorläuferfertigkeiten: Rechnen“:

• Zählfertigkeiten werden vorwärts und rückwärts geprüft. Wenn rückwärts Zählen ohne Stocken bewältigt wird, hat sich die Zahlenfolge schon vom rein akustisch auswendig Können abgelöst und ist flexibel geworden. (S.a. Zählen)
• Mengenerfassung meint die simultane und quasi simultane Erfassung von Elementen auf einen Blick. (S.a. Simultane Mengenerfassung) Gelingen hier nur 3 Elemente, oder muss das Kind anhaltend zählen, ist das ein Zeichen einer noch wenig entwickelten Zahlenvorstellung. Können Kinder schon 5 oder 6 Elemente quasi „auf einen Blick“ erkennen, gruppieren sie bereits und zerlegen die Menge in Teile. (Voraussetzung für nicht zählende Rechenverfahren)
• Zahlenreihen prüfen die Aufmerksamkeitsspanne im akustischen Bereich des Arbeitsgedächtnisses (Diese Fähigkeit ist später für die Speicherung von Zwischenergebnissen von großer Bedeutung).
• Raumorientierung und Raumlage prüfen neben der grafomotorischen Komponente, Aufmerksamkeitsfokussierung und die Stabilität von Strukturen (Dies ist später für die strukturierte Zahlenauffassung bedeutsam.)

Schuleintritt:

In den ersten Wochen wäre sinnvoll, mit einzelnen Kindern die „Eingangsdiagnose Rechnen“ durchzuführen.
Eine Interpretationshilfe für die „Eingangsdiagnose Rechnen“:

• Bei der Aufgabe mit 15 Holzwürfeln wird die Zählprozedur im Abzählen überprüft. Zahlenfolge, 1:1 Zuordnung, kardinale Interpretation (Wie viele?)
• Bei der Aufgabe mit 6 Würfeln können die Anfänge des strukturierten Zahlenbegriffes beobachtet werden.
• Bei den Fingerbildern geht es zunächst um die simultane Mengenerfassung und über 4 um erste Strukturierungen

Während des 1. Schuljahres nach dem Schuleintritt:
Sie können mit der „Zahlverständnisdiagnose ZR 20“ sehr gut herausfinden, ob das Kind bereits Zahlen strukturiert und diese Strukturen zum Rechnen nutzt.
Eine Interpretationshilfe für die „Zahlenverständnisdiagnose ZR 20“:

• Die Aufgaben 1 bis 5 beschäftigen sich mit Strukturen in Zahlen. Gibt es Gliederungen nach Mengen, oder symbolisch (Ziffern)? Können die Strukturen schon für Additionen und Subtraktionen genutzt werden?
• Werden bereits die besonderen Eigenschaften von 5 und 10 verstanden?
• Kinder, die diese Strukturen nicht aufgebaut haben, müssen zählend rechnen.

Im Grunde ist „Diagnostik“ in einem dialogischen Unterricht dauernd möglich. Die wichtigsten Fragen an die Kinder sind:

• Wie hast Du gerechnet?
• Woran kann man …... erkennen?
• Kannst Du mir das auch am Material zeigen?

Näheres unter:
Schultz, R.: Den Entwicklungsstand des mathematischen Verständnisses erfassen. S. 59f in: Ganser, B.: Rechenstörungen – Hilfen für Kinder mit besonderen Schwierigkeiten beim Erlernen der Mathematik. Donauwörth 2004
und: https://kira.dzlm.de/lernen-wie-kinder-denken/diagnostische-gespr%c3%a4che

Mathematik unterrichten in der Vorschule

Ziel des Mathematikunterrichts in der Vorschulstufe ist es, dem Kind, das seine mathematischen Vorläuferfertigkeiten noch nicht zur Schulreife entwickelt hat, für den Beginn der 1. Klasse eine nachhaltige Basis für das Rechnenlernen zu schaffen. Die Prävention von Rechenschwächen ist implizites Ziel.
Im Lehrplan der Volksschule (BGBL. II Nr. 303/2012) steht „Handelnder Umgang mit Gegenständen zur Anbahnung mathematischen Denkens“, das „Feststellen von Eigenschaften“, das „Herstellen von Beziehungen, Symbolisieren, Abstrahieren (und) Verallgemeinern“, kurz die „Förderung des Denkens in handlungsorientierten Lernsituationen“ sind Inhalte der vorschulischen Erziehung. „Die Erarbeitung der Bildungsinhalte des Lehrplans erfolgt in den drei Schritten: Vertraut werden – Handelnder Umgang – Untersuchen/Ordnen und Sichern von Grunderfahrungen.“ „Als Lernform bietet sich das Spiel in Kleingruppen-, Partner- und Einzelaktivitäten besonders an.“ „Der Einsatz von Arbeitsblättern soll nicht zu früh erfolgen und richtet sich nach den individuellen Voraussetzungen der Kinder. Arbeitsblätter dienen keinesfalls als Ersatz für konkrete Aktivitäten.“
Vorschulkinder haben im mathematischen Bereich vor allem in den Bereichen „Zählen“, „Abzählen“ und „Mengenerfassung“ noch Nachholbedarf.
Beim Zählen gibt es manchmal noch Abfolgefehler, häufig wird die Zahlenreihe lediglich „aufgesagt“, wobei das Weiterzählen ab einer bestimmten Zahl und das rückwärts Zählen nur stockend gelingen.
Beim Abzählen schaffen die Vorschulkinder oft noch keine sichere 1:1 Zuordnung von Gegenstand und Zahlwort.
In der Mengenauffassung sind bei vielen Kindern simultane Mengenerfassungen von nur 2-3 Mengen am Anfang der Vorschule möglich. Die Mengenkonstanz ist oft noch nicht gegeben.

In schulischen Alltagssituationen oder kleinen Projekten (z.B. „wir werden immer größer“) machen die Kinder „mathematische Grunderfahrungen“ (Fthenakis 2014, S. 16), die von den Lehrpersonen in gemeinsame Kommunikation zur „Vertiefung des Verständnisses“ für die Besonderheiten und Regelmäßigkeiten des Beobachteten gelenkt werden sollten. Spiele und Erkundungen der kindlichen Welt stehen im Vordergrund. Hier zählen die Kinder oft wie nebenbei ab, entdecken und nützen Muster um Anzahlen ermitteln und vergleichen zu können. Das unterstützt bei den Kindern das „rechnende Zählen“, das zur Prävention von Rechenschwäche Entscheidendes beiträgt.
Wenn Kinder Rechnungen aufschreiben wollen, so sollten die Kinder zunächst ihre individuelle Form entwickeln dürfen, das formale Rechnen (mit Ziffern in Gleichungsform) sollte in der Vorschulzeit aber nicht unterrichtet werden, da es den Kindern schadet, Stoff der 1. Klasse vorzuziehen, statt an ihren Vorläuferfertigkeiten zu arbeiten.
Empfehlungswerte Programme für die Vorschule sind: „Mengen, zählen, Zahlen“ von Krajewski u.a. und das „Zahlenbuch-Frühförderprogramm“ von Wittmann und Müller.

Literatur:

• Fthenakis, W. (Hrsg.) (2014): Frühe mathematische Bildung. Natur-Wissen schaffen 2. Essen: Lern-Spiel-Verlag
• Krajewski, K. u.a. (2007): Mengen, zählen, Zahlen. Die Welt der Mathematik verstehen. Förderkonzept. Berlin: Cornelsen
• Lehrplan der Volksschule, BGBl. II Nr. 303/2012 vom 13. September 2012
• Wittmann, E. (2011): Über das „rechnende Zählen“ zum „denkenden Rechnen“.
• Wittmann, E./Müller G. (o.J.): Zahlenbuch-Förderprogramm